Die Lösung die oben angegeben ist (also 0.1^t) ist KEINE Lösung zu der DGL, die du angegeben hast.
f(t)=a*e^(0,1*t)
mit einer beliebigen konstanten a (anfangsbeindung)
ist die allgemeine Lösung für die DGL, es gibt keine andere.


Zum anderen
du kannst net einfach die a rauskürzen, da das 2 verschiedene konstanten wären (nur zufällig gleich benannt), würde aber nichts daran ändern, das das nicht passt.

Achja noch die Erklärung warum das nicht klappt:

Die Prop. Konstante für das Wachstum ist gerade die Wachstumsdauer.
Das bedeutet:
Die Proportioalitätskonstante gibt gerade die inverse Zeit an, wo dein Wachstum den Faktor e hat.
Du musst alsoeine andere DGL aufstellen.
Wenn du das oben berücksichtigst, dann musst die Prop Konstante lauten:
ln(1.1)
so und dann passt es auch

f(t) = a*e^[t*ln(1,1)]
= a*e^[ln(1,1^t)]
= a*1,1^t

hmm so ganz kann ich es mir auch nicht erklären.
Ich habnur ne Vermutung.
Daher nochmal genauer meine Überlegung zu dem Faktor im Exponenten:

Wenn du ein Wachstum hast.
dann ist die Änderung sicherlich proportional zur Zeit und zur Menge der schon vorhandenen. Es kann aber von nichts anderem Abhängen.

also
dN ~ N dt
als Proportionalitätskonstante führt man zB ein k ein.
im allgemeinen führt man bei erniedrigung ein -k ein, da es ja abnimmt.

also
dN = k*N*dt
bzw
N' = k*N
Lösen kann man das durch Trennung der variablen
also
N(t) = N_0*e^k*t
so jetzt kann man sehen, woher diese Konstante k kommt, bzw was sie aussagt.
Man weiß zB eine Angabe nach t = 1min wöchst es um 10%
also
1,1*N_0 = N_0 e^k*1min
daran kann man ablesen
k = ln(1.1) / min
Anderes Beispiel
Radioaktiver Zerfall
da gilt
N(t) = N_0 e^-lambda*t
normalerweise gibt man zB beim radioaktiven Fall die Zerfallskonstante lambda in Einheit [1/s] an.
wobei gilt
lambda = 1/tau
und tau ist gerade die Zeit, wo die Anzahl der vorhandenen Kerne auf
1/e abgefallen ist.
Wenn man aber die Halbwertszeit (also die Zeit, wo nur noch die Hälfte vornhadnen ist) haben will
so bekannt man
lambda = ln(2) / tau
wie man leicht sehen kann.

Dadurch kommt immer dieser Faktor ln rein.
Allgemein kann man also für diese Proportionalitätskonstante sagen
N(t) = N_0 e^k*t
wenn
-r : faktor, auf den das abgefallen ist
-tau : Zeit, die dafür benötigt ist
sagen
k = ln(r) / tau
du hast halt hier immer nur eine Zeiteinheit, daher ist bei dir immer
k = ln(r)

So in deinem Fall ist es ein Abfall um 0.2%.
hier sollte man immer ansetzen.
dN = -k*N*dt
also
N(t) = N_0 e^(-k*t)
dafür folgt
-k = ln(0.998)

so jetzt fliesst aber noch 0.25 liter wasser rein pro dieser zeiteinheit
also
dN = [0.25+ln(0.998)N]dt = ln(0.998)[0.25/ln(.998)+N]*dt
Respektive
N(t) = 0.25/ln(0.998)*[e^(ln(0.998)*t)-1]

Für die DGL die du hast ergibt sich
N(t) = 125*[1-e^(-0.002*t)]

Auf den ersten Blcik unterschiedlch, wenn man aber mal ln(0.998) ausrechnet, dann kommt da
ln(0.998) ungefähr = -0.002002
raus
also ne korrektur im promill Bereich, wenn du das oben mal
ln(0.998) = -0.002 einsetzt kommst du auf die exakt gleiche Lösung.
Auch im Plot unterscheiden die sich eigentlich gar nicht.


Ich weiß jetzt nicht genau, warum die das so gemacht haben.
Aber meine Vermutung ist, dass die
ln(0.998) = 0.002 gesetzt haben, weil es so logischer klingt und keine gravierenden Unterschiede sind.
Ist meiner Meinung nach aber nicht ganz korrekt.

So ich hoffe das stimmt. Hab lange dran überlegt muss ich zugeben *G*

Falls du meinen FOrmeln net folgen kannst, kann ich das gerne mal sauber aufschreiben, ich gebe zu, so kann man nicht so ganz gut folgen.