such mal nach "winkel zwischen zwei vektoren"

Das Skalarprodukt ist ursprünglich im Rahmen der analytischen Geometrie im euklidischen Raum eingeführt worden. So ist es mit Hilfe des Skalarproduktes beispielsweise möglich, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen: Das Skalarprodukt ergibt sich nämlich auch aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von diesen eingeschlossenen Winkels gemäß der Formel

\vec{x}\cdot \vec{y} = |\vec{x} | \cdot | \vec{y} | \cdot \cos \measuredangle \left(\vec{x},\vec{y}\right)

Um dies zu zeigen, mögen drei Vektoren, \vec{a},\vec{b},\vec{c} des euklidischen Raumes betrachtet werden.

BildkalarproduktSkizze.jpg

Wegen des Kosinussatzes ist die Länge des dem Winkel ³ gegenüberliegenden Vektors

|\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma)

Da sich \vec{c} als \vec{b}-\vec{a} ergibt, erhält man

|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma).

Berechnet man nun die Länge über das Skalarprodukt, so erhält man

\left(\vec{b}-\vec{a}\right)\cdot\left(\vec{b}-\vec{a}\right) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b}-2|\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma).

Aus den Rechenregeln für das Skalarprodukt ergibt sich dann

\vec{b}\cdot\vec{b} -2 \vec{a}\cdot\vec{b}+ \vec{a}\cdot\vec{a} = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b}-2|\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma)

und daraus die gewünschte Beziehung

\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cdot \cos(\gamma).

ups--- liess ienfahc selber im wiki nach

Hat Skalarprodukt nicht irgendwas mit diesen Neutronensternen zu tun?

Zur Geometrischen Bedeutung:

Beim Skalarprodukt projiziert man einen Vektor auf einen anderen.

Beispiel:

Man hat einen Vektor a und einen Vektor b



Rechnet man nun a skalar multipliziert mit b (bzw. b skalar multipliziert mit a; es gilt das Kommutatvgesetz), so erhält man einen Betrag, welcher der Länge des projizierten Vektors entspricht.