Matheproblem: Extremwertaufgaben

Chrispie

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1

Sunday, January 15th 2006, 7:07pm

so, haben mal wieder so ne scheiss hausaufgabe bekommen die irgendwie niemand kann:

in ein dreieck soll ein möglichst großes quadrat eingesetzt werden, wobei die beiden katheten des dreiecks die seitenlängen des rechts quadrats bilden sollen.
bekannt sind die beiden katheten des dreiecks. die hypothenuse habe ich durch pythagoras ausgerechnet.
gesucht sind also die seitenlängen des quadrats, bei dem es so groß wie möglich ist.

Chrispie has attached the following image:

Tutti

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2

Sunday, January 15th 2006, 7:15pm

Fläche A des dreiecks ist gegeben durch
A = a*b

jetzt kannst du, durch die Randbedingungen des Dreiecks zB b durch a ausdrücken, hast also eine Funktion b(a).
Das setzt du in die Flächenformel ein

bekommst also
A(a) = a*b(a)

Das soll jetzt maximal sein, also suchst du das Maximum durch
A'(a) = 0, das ganze natürlich noch überprüfen mit 2. Ableitung oder halt durch umgebende Werte.

Chrispie

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3

Sunday, January 15th 2006, 7:24pm

das mit der 1. und 2. ableitung ist mir klar... aber ich muss ja erstmal anhand der seitenlängen des dreiecks die längen des quadrats herausfinden.

Tutti

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4

Sunday, January 15th 2006, 7:26pm

rechne dir erst den winkel links unten aus.. wie das geht sollte wohl klar sein *g*.

Dann kannst du die Strecke a unten wählen, wie du willst.
Das restliche Teilstück ist dann
12cm-a
sollte klar sein oder ?

die Höhe b kannst du nun über den tangens ausrechnen, denn du weißt die Länge und den Winkel.
damit hast du dein b(a) ausgerechnet.

Chrispie

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5

Sunday, January 15th 2006, 7:29pm

ah ok danke ich probiers mal

Chrispie

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6

Sunday, January 15th 2006, 8:04pm

scheisse, ich check das nicht. habe jetzt alle winkel für das dreieck.
aber ich kann ja auch nicht einfach sagen, dass a=12-a ist da man die andere seite und die hypothenuse noch beachten muss.

Tutti

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7

Sunday, January 15th 2006, 8:17pm

oh mann ...

das viereck muss in dem Dreieck sein.

Sei jetzt mal alpha der Winkel zwicshen der unteren 12cm Seite und der Hypothenuse.

dann ist
tan(alpha) = 8/12 = 2/3

wenn du jetzt die strecke a vom dreieck mal festlegst, ist das reststück, nenen wir es a' gegeben durch
a' = 12cm-a.

wenn du dir jetztmal deine Skizze anschaust, dann kannst du die Strecke b ausrechnen durch:
tan(alpha) = b/a'
also b = 2/3*a' = 2/3*(12-a)
(geht übrigens auch mit Strahlensatz denke ich das auszudrücken)

damit ist dann die Flöäche des Vierecks gegeben durch
A(a) = a*2/3*(12-a)
Das gilt natürlcih für jedes frei wählbare a.

das jetzt einfach maximal aussuchen indem du das ableitest und null setzt etc blabla.